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Para los lugares llamados "Interior", véanse Interior (Dakota del Sur) e Interior (Omán).

Sea $displaystyle (X,mathcal T)$ un espacio topológico, y $displaystyle Asubset X$ . Se define el interior de $A$ (notado $displaystyle textint(A)$ , $displaystyle stackrel circ A$ , o $displaystyle A^circ$ ) como la unión de todos los abiertos contenidos en $A$ .^[1] Es decir, $displaystyle V=mboxint(A)$ si y solo si es V es abierto, está contenido en A y todo otro abierto contenido en A está contenido también en $V$ (ver #Ejemplos).

Índice

1 Caracterización
- 1.1 Caso general
- 1.2 Caso de espacios métricos

2 Propiedades

3 Ejemplos
- 3.1 Ejemplo elemental sobre la recta real
- 3.2 Círculos y Circunferencias en $mathbb R ^2$

4 Notas y referencias

Caracterización

Constructivamente, se define $displaystyle mboxint(A)=bigcup Vin mathcal T:Vsubset A$ . Notar que esta construcción garantiza la existencia de este abierto maximal, pues la unión de abiertos es un abierto y el conjunto vacío siempre está contenido en A.

Caso general

El interior topológico se puede caracterizar en el caso general por medio de entornos de la siguiente manera:

Se dice que un punto

displaystyle ain textint(A)

solo si

A

es un entorno de este punto. Es decir, si existe un abierto

displaystyle Oin mathcal T

de tal manera que

displaystyle ain Osubseteq A

.

Caso de espacios métricos

Si $displaystyle (X,mathcal T)$ consiste en un espacio métrico, se puede desarrollar aun más:

displaystyle textint(A)=ain A,,vert ,,exists epsilon >0,B_epsilon (a)subset A

En este caso, un punto $displaystyle ain A$ es parte del interior de $A$ solamente si existe una bola abierta contenida en $A$ , centrada en el punto $a$ con radio $epsilon >0$ , ósea radio positivo (esto se desprende de la definición: una bola abierta necesariamente tiene radio positivo).

Propiedades

Las siguientes son las principales propiedades del interior:

$displaystyle textint(A)subset A$ ^[2]

$A$ es abierto si y solo si $displaystyle mboxint(A)=A$

$displaystyle mboxint(mboxint(A))=mboxint(A)$

$displaystyle Asubset BRightarrow mboxint(A)subset mboxint(B)$

$displaystyle mboxint(varnothing )=varnothing ,mboxint(X)=X$ (pues ambos son conjuntos abiertos y cerrados, por definición de una topología)

$displaystyle mboxint(A)cap mboxint(B)=mboxint(Acap B)$

$displaystyle mboxint(A)cup mboxint(B)subset mboxint(Acup B)$

$displaystyle mboxint(A)=(mboxint(A^c))^c,$

El interior de $A$ , la frontera de $A$ y el exterior de $A$ constituyen una partición de $X$ . Es decir: $displaystyle partial Acup textint(A)cup (X-A)=X$ y $displaystyle partial Acap textint(A)=varnothing$ , $displaystyle partial Acap (X-A)=varnothing$ , y $displaystyle textint(A)cap (X-A)=varnothing$ ^[3]

Hay conjuntos cuyo interior es el conjunto vacío, y cuya adherencia es todo el espacio, como por ejemplo los irracionales $mathbbI$ y los racionales $displaystyle mathbb Q$ en la recta real. Pues si consideramos k un elemento de ℚ y el intervalo abierto <k-r, k+r>, este intervalo que conlleva k no está incluido en ℚ.^[4]

Ejemplos

Ejemplo elemental sobre la recta real

El interior del conjunto en forma de intervalo $displaystyle I=[a,b)$ es precisamente $displaystyle textint(I)=(a,b)$ , se puede ver que ese conjunto es abierto y contenido en I, por tanto la unión de cualquier colección numerable de subintervalos abiertos de I de la forma $displaystyle (a_i,b_i)$ con $displaystyle a_i>a,b_i<b$ será de la forma:

$displaystyle bigcup _i(a_i,b_i)=(a_1,b_1)cup (a_2,b_2)cup dots subset (a,b)$

Dado que todos ellos están incluidos en $displaystyle textint(I)=(a,b)$ , por otra parte el conjunto $displaystyle [a,b)=(a,b)cup a$ no es abierto, y por esa razón el mayor conjunto abierto posible contenido en él es $displaystyle (a,b)=textint(I)$ . Para completar los detalles de la prueba habría que ver que cualquier subconjunto abierto de $displaystyle I=[a,b)$ está contenido en $(a,b)$ , cosa que es sencilla probando que cualquier conjunto de abierto contenido en $displaystyle [a,b)$ es una uniónde intervalos de la forma $displaystyle (a_i,b_i)$ (con la condición de que $displaystyle a_i>a,b_i<b$ ).

De manera similar se puede demostrar que $displaystyle textint[a,b]=(a,b)$ , que $displaystyle textint(a,b]=(a,b)$ o que $displaystyle textint(a,b)=(a,b)$ (en este caso el propio conjunto es su interior).

Círculos y Circunferencias en $mathbb R ^2$

La circunferencia unidad S¹ tiene interior vacío. Es decir

$displaystyle textint(S^1)=varnothing$

Este caso es bastante claro si uno se da cuenta que no existe una bola abierta que sea contenida en esta circunferencia. Si consideramos los puntos en el círculo cerrado D¹

$displaystyle D^1=(x,y),,$

entonces notamos que $displaystyle textint(D^1)=B_1((0,0))equiv B_1(0)$ . Podemos construir este caso fácilmente:

Primero considera la bola abierta y todos sus puntos; uno nota que $displaystyle B_1(0)subset textint(D^1)$ porque $displaystyle B_1(0)subset D^1$ y es abierto.

Ahora, considera cualquier punto $displaystyle anot in B_1(0)$ . Sabemos que $displaystyle a=(x,y)$ y que $displaystyle x^2+y^2geq 1$ , entonces considera cualquier $displaystyle r>0$ : demostramos que existe un punto en cualquier bola abierta centrada en $a$ que no está contenido en D¹. Dado una bola $displaystyle B_r(a)$ , el punto $displaystyle b=left(1+frac r2right)ain B_r(a)$ , sin embargo sabemos que $displaystyle$ (porque $a$ ), entonces $displaystyle$ porque $displaystyle r>0$ . Al saber que $^2>1$ entonces $displaystyle bnot in D^1$ que nos deja concluir que $displaystyle B_r(a)not subset D^1,forall r>0$ . Esto implica inmediatamente que $displaystyle anot in textint(A)$ . Por esto sabemos que $displaystyle B_1(0)supset textint(D^1)$ .